最好的问题都是网络上问出来的。比如一个叫做“最后的话”（The Last Word）的网站上有这样一个问题：
“把一只冷冻的火鸡从多高的空中丢下去，火鸡落地的时候能被烧熟？”
好问题都要有几个初始假设，比如：
●火鸡由水组成，开始降落的时候是0℃的冰。
●火鸡是一个球体，半径为15cm（或者就用r表示）。
●当火鸡穿过大气的时候，消耗的能量一半进入火鸡，一半进入大气。
●我会忽略火鸡撞击地面产生的热量，我只想知道火鸡在撞击地面变成碎片之前的一瞬间有没有被烧熟。
●火鸡温度达到82℃的时候就算是烧熟了。
为什么我要从假设入手？因为这是把复杂问题简单化的一种手段。这看起来像是作弊，但其实不是的。比方说，以我的假设为前提，我算出要把火鸡烧熟，得从100m的空中把火鸡扔下去。这表明，对于一只真的火鸡来说，答案可能是50m～200m之间的任何一个数值。但肯定不会是100000米。这样的答案尽管不准确，但还是有用的。没错，这些数字都是我瞎编的。
既然有了假设，那么我来画张图说明一下。这是一只从高海拔的地方扔下去的球形火鸡：
这只落下来的火鸡怎么会被烧熟呢？原因就是空气阻力。当火鸡降落的时候，空气会撞击火鸡，产生类似摩擦力的效果。实际上，火鸡的温度上升源自空气撞击，和火鸡下方空气的压缩生热。是的，空气摩擦生热是个复杂的问题。不过可以肯定的一点是，物体穿过空气时一定会升温。就像双手合在一起摩擦会变热，下落的火鸡也一样。
这个温度的增加值要怎么计算呢？当处理物体运动一段距离的问题时，最有用的就是功能原理。该原理表述为，对一个系统所做的功，等于这个系统的能量变化。如果这个系统由地球、火鸡和空气组成，那么就可以考虑下面几种能量：
●动能：来源于物体的运动（主要是运动中的火鸡）。
●热能：随着火鸡的降落，火鸡和空气都会升温。
●重力势能：势能随着地球和火鸡之间距离的缩短而减少。
那么，对这个系统做功的是什么呢？在这个系统中，只有空气阻力对降落中的火鸡做功。在经典模型中，空气阻力的大小取决于空气密度、物体的形状和大小，以及物体的速度。
在行进中的汽车里把手伸出车窗，你就能自己测试一下一些空气阻力的性质。显然，空气会推动你的手。当你的速度变快（v的数值增加），这个推力也会增加。如果你把手握拳，手的形状就变了，横截面积也减小了，你感受到的推力也就变小了。
对于降落中的火鸡来说，随着降落的速度越来越快，空气阻力也会变大。然而，当火鸡降落到某一点时，空气阻力会和地球引力持平。这时火鸡受到的合力为零，降落速度趋于恒定，达到所谓的终极速度。下图表示的就是这只匀速运动中的火鸡：
那么这只火鸡降落的终极速度是多少？如果这只火鸡是个正球体，那它受到的引力和质量成正比。如果火鸡的密度均匀，那么质量和其半径的立方成正比。空气阻力和这个球体的横截面积成正比（横截面是圆形）。所以空气阻力和火鸡半径的平方成正比。最终结果就是火鸡的大小起到决定作用，因为大小所产生的效果不会被抵消掉。火鸡越大，终极速度也越大。
不知道为什么，我总是会惊讶于尺寸大小的这种决定性作用。也许我们都倾向于把这个世界看成一张铁路模型的图片。物体变小后，还是原来的物体，仅仅是变小了而已。但事实并非如此，大小真的很重要。
现在我们回到能量的问题上。重力势能是多少？大体上讲，物体所处的位置越高，它拥有的重力势能越大。当物体与地球表面的距离比较近的时候，势能随着高度的增加呈线性增长。如果距离非常远的话，问题就复杂了。保险起见，我会采用复杂情况下的重力势能。
要解决问题，还差一块拼图：热能和温度之间度关系。这两个数值有区别吗？当然。看一下这个常见的例子（我在之前的某一章用过这个例子，主要因为我很爱吃披萨）。假设你想要加热一些吃剩的披萨。如果你把披萨放在铝箔上，然后放进烤箱，最终披萨和铝箔会达到同样的温度（比如65℃）。披萨热好后，你可以很轻松地直接用手拿起铝箔。不过千万别直接用手去拿披萨，你会被烫着的。从根本上说，这两件物体拥有的热能不同。
当丢下火鸡的时候，我们希望火鸡能达到一定的温度（比如80℃）。火鸡越大，达到这一温度所需的热能就越大。
关于热能，还有一点要记住：火鸡和空气的热能都会增加。方便起见，我假设热能一半进入火鸡，一半进入空气。为什么是一半呢？火鸡得到一大半的热能行不行呢？不，一半就好。其实这只是一个近似值，所以一半或是其他任何比例都是合理的。
把上述条件综合起来，再取一只正常大小的火鸡，我算出要把火鸡烧熟，降落的高度应该是142000m。这个答案合适吗？不合适。为什么呢？因为这真的挺高的。可以把这个高度和国际空间站的轨道高度做个比较，国际空间站的轨道高度是300km。
除了高度很荒谬之外，还有什么问题不？首先，你也许会觉得应该考虑到空气密度不均，特别是因为火鸡要从那样一个高度降落。那么又来了，空气密度不均也许并不要紧。如果高海拔的地方空气密度很低，那么火鸡降落达到的终极速度会高得多。然而高海拔的地方空气做功更少，但是火鸡降到低处的时候运动的速度更高，这就弥补了高处空气做功的不足。
那受热不均会是个问题吗？当然。如果你从100km的空中把火鸡丢下去，用不了多长时间火鸡就会掉到地面，基本上不会超过十分钟。如果你想在十分钟内把火鸡烧熟会怎样呢？火鸡外面会烧焦的。
所以下次你家复活节聚会的时候，还是用普通的烤箱来烤火鸡比较明智。这你可得相信我。
你能按比例造出一个死星的乐高模型吗？
里海大学的几位学生对建造一艘死星飞船的成本做了一次了不起的估算154，这给了我一些灵感。
地球上没人能真的造出一艘死星来验证他们的估算是否准确。不过用乐高积木确实能造出另一个版本的死星，尽管可能并不符合比例。里面都塞不下几个长着黄色圆形脑袋的乐高人偶，更不要说出现在电影《星战：一个新希望》中的死星飞船上的全体人员了。乐高的确出过许多《星战》里飞船的等比例模型，包括一款老版的已经不再售卖的千年隼（最好的版本）。不过有可能做得出死星的等比例模型吗？
首先，真实的死星有多大？死星一共有两艘，分别出现在《星战》的第四集和第六集。这两艘死星的大小显然不一样。根据星战百科155的数据，第一艘死星的直径为160km。一个克隆兵人偶的高度是38.6mm，不包括头发、头盔还有顶部用来连接头发和头盔的小装置。假设人的平均身高为1.77m，那么这个人偶和真人的比就是0.022。
所以，第一个版本的死星的等比例乐高模型直径为“真”死星直径的0.022倍。那么这个乐高模型的直径就是3.52km，也就是刚刚超过两英里，这样一个乐高模型真的挺大的。
如果这个版本的死星出一套等比例模型的话，得有多少块积木？这个问题可不好回答。我们要解决的第一个问题是，这艘乐高死星的内部是什么样子的？内部总要有些东西来支撑起外部结构。如果你想要一个等比例的死星模型，你可能希望这里面应有尽有，包括垃圾压缩机什么的。
假设模型内部拥有结构，我需要估算一下它的密度。我们先来看一下千年隼的模型。根据网站brickset.com的数据，千年隼模型包含5195块积木，体积为84cm×56cm×21cm：假设模型的形状是长方形的话，可以用积木的块数除以体积，求得乐高积木的块数密度为52400块/m3。
这只是个估计值，不过我已经很满意了。的确，千年隼模型里有一些大块的积木，不过也有一些小块的。我想如果死星模型里包含更多大块积木的话，那它的块数密度会小一些。
利用这个密度，和上文中提到的终极死星模型的体积，可以求得这套模型里积木的数量。要想拼出一个半径为1.76km的球形乐高模型，需要1.2×1015块积木。终极死星模型里可能包含更多大块的积木，所以块数密度会更小。我就取1014作为这套模型中所包含的积木的块数吧。
这个等比例模型的质量是多少呢？这时需要知道的就不是块数密度而是质量密度了。同样地，我可以通过考查另一个模型来估计这个质量密度。千年隼列出的装箱重量是24.2磅。这肯定包括了包装箱和说明书。所以可能积木的净重大约9.5kg。那么模型的质量密度就是96.2kg/m3。快速地查看一下出现在《星战》第6集《绝地**》中的死星二号的乐高模型，它的质量密度是85kg/m3。数据并不完整，但是完全够用了。
假设死星模型的质量密度是90kg/m3，那么我的超级无敌乐高死星的质量就是2.1×1012kg。
好的，那么这艘死星的成本是多少呢？我就利用现有的数据来估算。因为我之前是把一套乐高积木的成本作为积木块数的因变量，我知道一套积木的平均成本是每块0.098美元。
这可能有点牵强，不过，如果我假设每套积木的成本价随着积木套装的体积始终呈线性变化，那么这套积木的成本价在1013美元左右（不包括装运的费用）。
还要考虑一点，这个死星的等比例模型要往哪搁呢？放在地球表面可不是个好主意。最难解决的是支撑物的问题。假设我建造一个底座来放这个跨度为0.3km的死星模型。它最宽的地方可能有3.5km，但请记住这是一个球体。这个底座会支撑起模型的全部重量，这会产生240MPa的压强。
我带你简单回顾一下压强的概念。假设你把手放在地板上，一个人不穿鞋子踩在你的手上。这样可能只有一点点疼对吧？现在假设同一个人穿着高跟鞋踩在你的脚上，而且还是用细高跟踩的。想象一下就好了，别真这么干，因为真的挺疼的。所以两种情况有什么区别？施加在你手上的力的大小是一样的，但是作用的面积不同。用细高跟踩的时候，因为力的作用面积很小，所以压强更大。那帕斯卡又是什吗？帕斯卡（Pa）是计量压强的一个单位，1Pa等于1N/m2。
那最大抗压强度又是什吗？最大抗压强度指的是一种材料在破裂之前以某种方式所能承受的最大压强。比如你用牙签戳一块石头，石头可能毫发无伤。要是用同样的力去戳一块果冻，果冻就“破裂”了。所以当死星模型给底座施加240MPa的压强时会发生什吗？这个压强超过了大理石的最大抗压强度。大部分材料做这个底座的话都会破裂，要模型底部的乐高积木保持结构完整就更不可能了。
唯一可行的办法是把模型放入环绕地球的轨道，比如距离地球表面300km的近地轨道。300km外的一个直径为3.5km的物体，视直径为0.67°，比月球的视直径大一点点。
这样很棒吧？大家会像汉・索罗那样，把乐高死星错当成月亮。
裹多少气泡垫从六楼跳下去才不会摔死？
要裹着多少气泡垫从六楼跳下去才不会摔死？我大致将高度定为20米。
解决这个问题要从哪里入手呢？首先我们需要一些气泡垫。我们可以测量气泡垫的哪些性质呢？
首先，我可以测量气泡垫的厚度。没错，气泡垫有许多种，不过我就测量我的这种（总得从某处开始着手吧）。我不是只测量一张气泡垫的厚度，而是把若干张叠在一起测出总的厚度，然后画出坐标图。
我每加一张气泡垫就量一下总的高度，然后画了一张坐标图，坐标轴分别是气泡垫的张数和高度。这个线性拟合方程的斜率为每张0.432cm，这样就能很好地估算出一张气泡垫的厚度了。
其次，我需要知道气泡垫有多“弹”。像弹簧一样吗？如果是像弹簧一样，那它有多硬呢？如果是一个真实的弹簧，那我就对其施加重量，看看它会被压缩多少。就这么干。
如果画出图像，那它看起来基本是线性的，收缩的程度和施加的力的大小成正比。所以可以说气泡垫的性质的确很像弹簧。气泡垫像弹簧一样对外物（比如人）施力，我可以为这个力建一个模型。这个力的大小和气泡垫被压缩的程度成正比。
从上面的数据可以得出这个规格的气泡垫的有效弹性常量。那其他规格的呢？假设我把两张气泡垫叠在一起，而不是单独一张，在上面施加一个重量后，每张气泡垫各自的压缩程度和单独一张气泡垫是一样的，因为它们承受的重量相同。但是两张气泡垫叠在一起的话，压缩程度的总和比单独一张气泡垫的大。
一张小的气泡垫和一张大一些的气泡垫相比的话，又有什么不同呢？这就像把两张气泡垫并列拼在一起。当在上面施加重量的时候，它们同时支撑起这个重量，所以各自承受一半的挤压力。所以两张气泡垫拼在一起时的压缩程度会比单独一张的小。
简单地说，面积越大的气泡垫，性质越接近一个更硬的（弹性常量更高的）弹簧。气泡垫叠得越厚，有效弹性常量越小。一种材料拥有的和其实际尺寸无关的硬度属性，叫做杨氏模量。已知我这种气泡垫的规格，可以得到这种气泡垫的杨氏模量为4319N/m3。
那么跳落的情况是怎么样的呢？跳落本身不会造成危险，危险的是落地。估计落地安全性的最好方法是考查重力加速度。NASA已经采集过人体所能承受的最大重力加速度的相关数据：
从这里可以看出，采用向前加速（眼球向内）的姿势时，普通人体能够承受最大的重力加速度。这种情况下重力加速度会把眼球向头部里面推，这意味着在跳落之后是用背部着地。
这里有个小问题。一位裹着气泡垫的跳落者在与地面撞击的时候，其重力加速度不是恒定的。下图表示的是一个裹着气泡垫的人与地面撞击的过程：
所以，这时候人体主要受到两个力的作用：来自气泡垫的力（像弹簧一样）和地球引力。要想使跳落者停下来，重力加速度的方向必须朝上，而气泡垫所施加的力必须大于地球引力。
重力加速度的大小取决于弹性常量以及弹簧被挤压的长度。这两个值我都不知道。不过，我可以利用功能原理来考查整个降落过程。在降落的起点终点，动能都为零。在降落的过程中重力势能会减小，而在撞击的过程中气泡垫的弹性势能会增加。由于没有外力对这个系统做功，我可以建立一个跳落高度和所需的弹性常量（以使重力加速度在可接受范围内）的关系。
要求出k的值，我还需要知道其他一些值。下面是我做的假设：
跳落者加上气泡垫的总质量为70kg。这里我假设气泡垫的质量比跳落者小。
最大重力加速度为300m/s2，撞击过程的持续时间不超过1s。
跳落的高度是20m。
这样的话，要使落地时的重力加速度不超过NASA所给出的人体超重耐力，气泡垫的弹性常量应该为1.7×104N/m。
现在我知道要使跳落者停下来所需的弹性常量，我离知道需要裹多少层气泡垫又近了一步。首先，我需要估算一下地面和气泡垫的接触面积。我知道在撞击过程中，这个面积其实是会变化的，所以我只能估算一下。假设撞击时地面和气泡垫接触的面是一个0.75m见方的正方形，接触面积就是0.56m2。
已知气泡垫的杨氏模量，可以算出所需的厚度（我任性地用L来表示）为0.142m。因为每张气泡垫的厚度为0.432cm，所以我一共需要39张。
39张气泡垫也许看起来有点少，我来计算一下气泡垫的质量还有它看起来有多大。我假设气泡垫在跳落者周围裹成一个圆柱体，那它看起来差不多是这样的：
从上往下看，这个人看起来大体上是一个半径为0.3m的圆柱体（只是猜测）。如果气泡垫额外地延伸出0.142m，那么气泡垫的体积是多少？哦对了，我还要设这个人的身高为1.6m（也是猜测）。这样气泡垫的体积就是0.53m3。
我可以利用气泡垫的厚度和质量的数据算出气泡垫的密度。这么大体积的气泡垫的质量就是9kg——还不赖。不过，严格来说这会改变落地所需的气泡垫的数量。或许为了保险起见，我可以再加几层气泡垫，以抵消气泡垫本身的重量。
既然知道了人裹上气泡垫后的体积，我可以考虑一下降落时的空气阻力。在空气阻力的经典模型中，阻力大小与物体的横截面积以及物体降落速度的平方都成正比。
因为当速度变化时，阻力大小也会随之变化，所以这个问题在纸面上不太容易解决。不过，要是用计算机把这个问题划分成许多短的时间间隔，那么这个问题计算起来就很直观了。
在做这个数值计算的时候，我得到下面两个关于降落物体位置高度和垂直速度的坐标图。
上图表明，考虑到空气阻力的话，降落物体在撞击地面之前的速度会稍微低一些（为17.8m/s，而不是大约20m/s）。我可以把全部数据重新算一遍，但是我不会算了。不过你可以把这个较低的速度考虑为安全极限范围（尽管我绝不会认为这种事情是“安全”的）。
再留一道附加题给你当家庭作业怎么样？要从一架飞机上跳下去而不摔死，你得裹多少气泡垫？我猜不会比从楼上跳下去多太多。如果你再加几层气泡垫，就会降低物体降落的终极速度。
不过我们真的要用气泡垫来保证人的安全吗？这显然不是一个好主意。
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发表于 2019-1-21 14:20:44