鲍勃·比蒙125于1968年创下了8.9m的世界跳远纪录。但是即使到现在，还有一些人认为，他之所以会打破该项目的世界纪录是因为比赛地点的缘故，他是在墨西哥城比赛的，那是一个海拔高于8000英尺的城市。他们提出这个说法的依据是，在墨西哥城里空气更稀薄，空气阻力更小。此外，墨西哥城离开地心距离更远，所以人受到的重力也较小。这些因素真的能起到这些作用吗？如果真有的话，这些因素有那么重要吗？
首先，让我们来看看引力。在地球的表面上，地心引力通常是物体的质量乘以重力场（g），其中g是约9.8N/kg。因此，1kg的物体受到地心引力的大小为9.8N（竖直向下）。
但是，如果你离开地球表面太远这种模式是不能运用的。引力是两个有质量的物体间的相互作用，而这种力的大小随着两个物体之间距离的增大而减小，这通常被称为引力的普遍规律，所有宇宙空间里的物体无一例外地遵循这个规律。根据引力模型，引力的大小正比于两个物体的质量乘积，反比于物体之间距离的平方。
如果计算地球表面的万有引力，你就会把地球的质量作为两个物体中一个的质量，把地球的半径作为物体之间的距离。按上述定义，最终数学的计算结果会是每千克物体受到的引力的值为9.8N，这一计算结果和我们的知识很相符，假如换用其他另外一个办法来计算万有引力，得到的数值也会是9.8。但如果用这两种方法分别计算，得出的结果并不一致，你会不会觉得不可思议？
如果位置不在地球表面呢？如果你正在海拔为2240m的墨西哥呢？在这样高的海拔的条件下，物体的重力应为其在海平面的99.93%。造成的区别不算很大，对，不算大，但难道足以影响到一项世界纪录的产生吗？
假如重力是所有要素中唯一一个起到决定性作用的，那么比较上述的海平面与海拔高度的重力是很有意义的。就表观重力而言126，也有其他两个因素要纳入考虑。首先，地球不是密度均匀的标准球体。如果你附近有一座山，即使你位于海平面，但山体的质量也会影响到你所在位置的引力场。
第二个考虑因素是地球的自转。位置越接近赤道，由于地球自转，该位置点的的转速也越快。墨西哥城是赤道上约19.5°，所以它的转动速度是相当快的。当然，如果你在一个圆周上进行运动，你就不是在惯性参照系127内了。为了把圆周运动也看作是一个惯性参考系（就像我们在地球表面一样），你就必须增加一个“假想”的力——离心力，其方向指向旋转轴的中心。离心力和实际重力一起纳入考虑，才是所谓的表观重力。
如果墨西哥城处在海平面位置，这个旋转运动将导致表观重力达到地球在未自转时99.69%的值。加上重力和自转效应，在墨西哥城的海拔位置的重力达到海平面在地球不自传条件下的99.62%，所以实际效果上并没有太大的区别。
好了，所以引力差异和自转效应似乎作用并不很大。那么其他因素呢？那么空气的密度呢？当你从地球表面逐渐远离，大气圈的密度逐渐降低。随着空气密度的降低，跳跃运动受到的空气阻力就会减小。
最常用的空气阻力模型认为一个运动的物体受到的空气阻力与物体的速度的平方成正比，与空气的密度成正比。如果你将空气的密度减小两倍，速度保持不变，空气阻力为原来的一半。
事实证明，空气的密度不是可以直接为之建模的物理概念，它就像“天气”一样复杂而捉摸不定，难以准确测量。但是，我们有一个简单的模型可以粗略地加以测定128。
使用该参考模型，我发现在海平面空气的密度是1.22kg/m3，与之相比，在2240m海拔处，空气密度只有0.98kg/m3。难道这个空气密度上的下降和引力一样对跳远有影响吗？
空气中物体受到空气阻力的运动不是一个简单的问题。是什么让它如此复杂？没有空气阻力，该物体的加速度将是恒定的。如果你思考一下简单的抛体运动就可以明白这点，在空中，只有一个力作用在物体之上：引力。这意味着垂直方向的运动具有恒定的加速度，而水平方向的运动有一个恒定的速度。为了解决这种类型的问题，所需要的数学知识不算困难。事实上，这个问题在几乎所有的高中层次的物理课中都是一个标准化的问题。
有了空气阻力就不一样了，空气阻力的大小则取决于物体的速度。当然，速度又取决于加速度，所以这里存在一个相互依存的循环圈。速度越大，空气阻力越大，加速度越大，速度的变化也更加大。这是一个十分棘手的问题。
有一个解决方案。方法就是创建运动的数学计算式。这个问题的解析解129（就像在没有空气阻力的情况下一样）是运用一些代数运算，或微积分。该解析解是什么，你通常会在介绍性的物理教科书内查看到的。对于数值计算，需要把整个运动过程按时间分割成一系列微小的步骤块。对于每个分步骤，你可以假定的力和加速度是恒定的。这就使得典型的、恒定加速度的解决方案会奏效。
分割的步骤越小，问题的解决则越有效。当然，如果你把整个跳远过程分割到长度为一纳秒，那么一秒钟的跳跃你将不得不为此计算10亿多次。如果分割为0.01s，你也将需要100次运算，即使这样也大大超过一个普通人的运算能力，极不合理。最好的办法是使用计算机，因为计算机只会埋头运算，很少能听到它们抱怨什么。
为了观察重力和空气密度的变化在多大程度上会影响一个跳远运动员，我们需要从一个基本模型入手。如果我们仔细观察一下比蒙那创纪录的一跳，我们可以得到关于初始速度的一些信息（假设没有空气阻力的）。从视频（通过计算帧数），我们知道比蒙在空中的时间为0.93s，水平方向的运动距离是8.39m，从而水平速度为10.1m/s。
我可以使用类似的方法来分析垂直运动，以确定所述初始垂直速度。比蒙的垂直速度大约是4.5m/s。现在我便可以使用这些水平和垂直速度，加上空气阻力和重力变化的影响。如果你把这3种情况的轨迹图画出来——没有空气阻力的海平面，有空气阻力的海平面，有空气阻力、重力稍降低的墨西哥城，你会注意到一些新的情况。三种情况之间的区别并没有多大，但有一个区别还是值得注意的：有空气阻力的海平面的跳远距离达到了8.89m，而有空气阻力、重力稍降低的墨西哥城的跳远距离达到了8.96m，后者较前者之间虽然只有7cm之差，但这一点距离就成就了世界纪录。就比蒙而言，无论他是在海平面还是在海拔达到5000英尺的地方跳，都是一样的。他以55cm打破了自己原有的纪录，取得了骄人的成绩。鲍勃·比蒙是一个实至名归的奥运冠军。
能用线性回归130来解释跳远世界纪录吗？
我们还有另外一种方式，可以考察鲍勃·比蒙在1968年夏季奥运会创造的跳远纪录。假设我以每次纪录被打破的日期与当日成绩对应作图，会得到如下这张男性运动员与女性运动员的散点图。
让我一直很惊讶的是世界纪录的推进几乎是以一种线性回归的方式进行的。让我从女性运动员的数据开始解读。为了让解读更具有说服力，我先找到能反应这些数据的函数，这一过程即是线性回归。
如果我能够找到代入这些数据的线性公式，我得到的函数如下：
sw（t）=（0.0314m/year）t+4.656m
这个线性模型和数据的吻合程度很高。如果你代入年份数据，这个模型很快就会为你预测该年份跳远的世界纪录（1967年为67，2012年为112）。公式里的4.656m呢？这个是由模型计算而得出的数据，反应的是1900年当时的运动员水平。显然，在那个年代还没有任何记录，因此我认为那时候人们的实际运动水平应该远不止于此。
这里还有一个很有趣的现象：我用这个模型推导出0.0m这个成绩产生的年代，结果公式给出的是1885年。没错，这个结果让人贻笑大方，这也就从侧面说明这只不过是一个简单的、并非万能的模型而已。
还有一个现象也值得注意：我同时也计算了一下反应这个线性模型与这些数据吻合程度的相关性系数。这些数据的相关性系数131为0.98。我们知道相关性系数为1.0的时候，数据与模型的吻合程度是最佳的。0.98说明了数据和线性模型之间的相关性非常高。
现在转而解读一下男性运动员的纪录。假设我找到一个可以覆盖掉除最后两个数据以外所有数据的函数，我注意到鲍勃·比蒙在1968年创造的纪录在图中仅次于最后一个纪录——1991年由迈克·鲍威尔创造的跳远纪录132。如果我把这两个数据予以忽略，我就可以暂时忽略掉鲍勃·比蒙那次超常规的比赛成绩。
假如忽略掉最后两个数据，你可以发现这条线性函数与前面的数据吻合程度很高。有了这个函数，我可以算出它的斜率为每年0.0116m，截距133为7.57m。
显然，如果把两人的纪录“舍弃”在函数之外，所有的数据都可以被这个函数纳入进来，并且可以做出这样预测：跳远成绩要达到8.95m将要到2018年才能被人类取得。
虽然这些模型中在大多数情况下都能够起到作用，但如果有时一种运动上的新技术一旦出现就可以完全改变模型。举个例子——著名的背越式跳高，跳高运动员的跳法是以垂直的方式跳过一根水平的杆子。在1965年以前，人类一直是使用普通的方法跳高，且效果不错。然而在1965年，迪克·福斯贝里134率先使用了背越式跳高技术，在动作上不再以面朝杆脚先着地的方式过杆，而是扭转身体让背部朝杆头先着地的方式过杆。他的这种新技术使他迅速打破了原先的世界纪录，同时也使得以前已经确立好的世界纪录产生趋势瞬间得以改变。
我不清楚比蒙和鲍威尔打破纪录是否使用了不同的跳高技术，但是他们各自都属于不同的阵营。让我们等到2018年来看看原来的模型是否还是具有预测的效果，因为根据模型，2018年该是有人出来打破鲍威尔纪录的年份。
最后，我们来观察一下男性纪录的斜率（0.0116米/年），女性的斜率（0.0314米/年）。两者之间差距巨大。女性运动员成绩新纪录产生的速度要远远快于男性运动员。如果两个模型仍然可以起到一定的预测效果，那还要多长时间女性的跳远能力才能和男性平起平坐呢？
我所要做的就是让男性与女性跳远的距离相等，然后求解出具体年份就可以了。这个问题很简单，是二元一次的方程组问题，所以我就不劳你费力计算了，我直接告诉你答案就可以了。
如果我把147年这个时间数值代入两个公式，两个公式最终显示的成绩都是9.27m。由于我设定当t=0代表1900年，所以这个纪录应产生于2047年。
当然，我自己也很怀疑到底这些模型能不能预测那么多年以后的未来。根据电影《终结者》135我们已经知道2029年整个地球都会受机器人统治，也许到了那个时候我们会决定让机器人来代替我们参加奥林匹克，那数据就得完全改写了。
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发表于 2019-1-21 12:42:24